大数の法則と中心極限定理の違い【確率の収束を理解する】

結論：「平均の収束」と「分布の収束」は別物

確率論の二大基本定理である大数の法則（LLN）と中心極限定理（CLT）は、どちらも「サンプル数を増やすと何かに収束する」という定理ですが、収束の対象が違います。LLNは「標本平均が真の期待値に収束」、CLTは「標本平均の分布が正規分布に収束」。両方とも統計学と確率論の根幹をなします。

1. 大数の法則（Law of Large Numbers）

サンプル数 n を無限に大きくしていくと、標本平均は真の期待値に収束するという定理。

例：サイコロを n 回振った平均は 3.5 に近づく、コインを n 回投げた表の割合は 50% に近づく。

2. 中心極限定理（Central Limit Theorem）

独立同分布の確率変数 X₁, X₂, ..., X_n の平均（または和）の分布は、n が大きくなると正規分布に近づきます。

元の分布が何であっても、平均の分布は正規分布になるという驚くべき事実です。

3. 両者の違い

項目	大数の法則	中心極限定理
対象	標本平均の値	標本平均の分布
主張	真の期待値に収束	正規分布に近づく
必要な仮定	独立同分布	独立同分布 + 有限分散
用途	期待値の推定	信頼区間・仮説検定

4. ガチャ確率における「収束」

排出率1%のガチャを N 回引いたときの平均獲得率を考えてみます。

• 100回: 平均 0.5〜1.5% くらいでブレる（個人差大）
• 1,000回: 0.85〜1.15% くらい（収束し始め）
• 10,000回: 0.97〜1.03% くらい（ほぼ収束）
• 100,000回: 0.99〜1.01%（ほぼ真の値）

「100連すり抜けは確率の偏り」ではなく「収束途中の自然な揺れ」と理解できます。

5. 「平均は揺れるけど分布の形は予測可能」

CLTの面白さ：n=100程度でも、標本平均の分布は 近似的に正規分布 になる。これを使うと「95%の確率でこの範囲に収まる」が事前に分かります。

6. 統計推測への応用

世論調査で「支持率 30% ± 3%（95%信頼区間）」と書かれているのは、CLT に基づいて計算された誤差幅です。サンプル数 n を増やせば誤差は √n の速度で減ります。

7. 弱法則と強法則

大数の法則には2種類あります。

• 弱法則: 確率収束（任意のε>0で P(|平均-μ|>ε) → 0）
• 強法則: ほとんど確実に収束（P(lim 平均=μ)=1）

応用では強法則の方が強い結論ですが、ほとんどの実用場面では弱法則で十分です。

8. 「ギャンブラーの誤謬」との関係

「ハズレが続いたから次は当たるはず」というのは大数の法則の誤解。LLNは「無限回試行で平均が真の値に近づく」と言っているだけで、「個々の試行が補正される」とは一言も言っていません。

よくある質問

まとめ